Pinadadali ng Imhr.ca ang paghahanap ng mga solusyon sa mga pang-araw-araw at masalimuot na katanungan. Tuklasin ang malalim na mga sagot sa iyong mga tanong mula sa isang malawak na network ng mga eksperto sa aming madaling gamitin na Q&A platform. Kumuha ng agarang at mapagkakatiwalaang mga solusyon sa iyong mga tanong mula sa isang komunidad ng mga bihasang eksperto sa aming platform.
Sagot :
Solution:
[tex]\sf \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^2+x-1)(x^2+x+1)}{e^2x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{e^{-2}2^x(x^2+x-1)(x^2+x+1)}{x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{e^{-2}2^x(x^4+2x^3+x^3-1)}{x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf e^{-2} \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^4+2x^3+x^3-1)}{x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf e^{-2} \big[\sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^4)}{x!}\big) + \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(2x^3)}{x!}\big) + \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^2)}{x!}\big) - \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(1)}{x!}\big)\big][/tex]
[tex]= \sf (e^{-2})(94e^2 + 44e^2 + 6e^2-e^2)[/tex]
[tex]= \sf (e^{-2})(143e^{2})[/tex]
[tex]= \sf 143e^{0}[/tex]
[tex]= \large \boxed{\sf 143}[/tex]
??
[tex] \large \bold{SOLUTION:} [/tex]
[tex] \!\!\begin{array}{l} \small \textsf{Let } S = \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x(x^2+x-1)(x^2+x+1)}{e^2x!} \\ \\ \small S =\displaystyle e^{-2} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x((x^2+x)^2 -1)}{x!} \\ \\ \small S = \displaystyle e^{-2} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x(x^4 +2x^3 + x^2 -1)}{x!} \\ \\ \small{S} = \displaystyle \footnotesize e^{-2}\! \left( \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^4}{x!} + 2 \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^3}{x!} + \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x x^2}{x!} - \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x}{x!}\right) \end{array} [/tex]
[tex]\!\! \small \begin{array}{l} \textsf{The above series can be evaluated by the Recurrence} \\ \textsf{Relation} \\ \\ \qquad \large \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x^k}{x!} = z \frac{d}{dz} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x^{k-1}}{x!} \\ \\ \textsf{Starting from }k = 0, \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x}{x!} = e^z \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x}{x!} = z\frac{d}{dz} e^z = ze^z \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x^2}{x!} = z\frac{d}{dz} ze^z = z(ze^z + e^z) = (z^2 + z)e^z \end{array} [/tex]
[tex]\!\!\small \begin{array}{l} \begin{aligned} \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{z^x x^3}{x!} &= z\frac{d}{dz} (z^2 + z)e^z \\ \\ &= z(z^2 + z + 2z + 1)e^z \\ \\ &= (z^3 + 3z^2 + z)e^z \end{aligned} \\ \\ \begin{aligned} \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{z^x x^4}{x!} &= z\frac{d}{dz}(z^3 + 3z^2 + z)e^z \\ \\ & = z(z^3 + 3z^2 + z + 3z^2 + 6z + 1)e^z \\ \\ &= (z^4 + 6z^3 + 7z^2 + z)e^z \end{aligned} \end{array} [/tex]
[tex] \small \begin{array}{l} \textsf{Evaluating at }z = 2, \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x}{x!} = e^2 \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x x^2}{x!} = (2^2 + 2)e^2 = 6e^2 \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^3}{x!} = (2^3 + 3\cdot 2^2 + 2)e^2 = 22e^2 \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^4}{x!} = (2^4 + 6\cdot 2^3 + 7\cdot 2^2 + 2)e^2 = 94e^2 \\ \\ \\ \implies S = e^{-2} e^{2} (94 + 2\cdot 22 + 6 - 1) \\ \\ \implies S = \boxed{143} \end{array} [/tex]
[tex] \mathfrak{\#Brainlèss\_Squad} [/tex]
Mahalaga sa amin ang iyong pagbisita. Huwag mag-atubiling bumalik para sa higit pang maaasahang mga sagot sa anumang mga tanong na mayroon ka. Salamat sa iyong pagbisita. Kami ay nakatuon sa pagtulong sa iyong makahanap ng impormasyon na kailangan mo, anumang oras na kailangan mo ito. Maraming salamat sa pagbisita sa Imhr.ca. Bumalik muli para sa higit pang kapaki-pakinabang na impormasyon at sagot mula sa aming mga eksperto.
