Ang Imhr.ca ay tumutulong sa iyo na makahanap ng mga sagot sa iyong mga katanungan mula sa isang komunidad ng mga eksperto. Tuklasin ang detalyadong mga solusyon sa iyong mga tanong mula sa isang malawak na network ng mga eksperto sa aming komprehensibong Q&A platform. Tuklasin ang malalim na mga sagot sa iyong mga tanong mula sa isang malawak na network ng mga eksperto sa aming madaling gamitin na Q&A platform.
Sagot :
Solution:
[tex]\sf \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^2+x-1)(x^2+x+1)}{e^2x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{e^{-2}2^x(x^2+x-1)(x^2+x+1)}{x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{e^{-2}2^x(x^4+2x^3+x^3-1)}{x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf e^{-2} \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^4+2x^3+x^3-1)}{x!}\big)[/tex]
[tex]= \sf e^{-2} \big[\sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^4)}{x!}\big) + \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(2x^3)}{x!}\big) + \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(x^2)}{x!}\big) - \sum\limits_{x=0}^{\infty}\big(\frac{2^x(1)}{x!}\big)\big][/tex]
[tex]= \sf (e^{-2})(94e^2 + 44e^2 + 6e^2-e^2)[/tex]
[tex]= \sf (e^{-2})(143e^{2})[/tex]
[tex]= \sf 143e^{0}[/tex]
[tex]= \large \boxed{\sf 143}[/tex]
??
[tex] \large \bold{SOLUTION:} [/tex]
[tex] \!\!\begin{array}{l} \small \textsf{Let } S = \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x(x^2+x-1)(x^2+x+1)}{e^2x!} \\ \\ \small S =\displaystyle e^{-2} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x((x^2+x)^2 -1)}{x!} \\ \\ \small S = \displaystyle e^{-2} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x(x^4 +2x^3 + x^2 -1)}{x!} \\ \\ \small{S} = \displaystyle \footnotesize e^{-2}\! \left( \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^4}{x!} + 2 \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^3}{x!} + \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x x^2}{x!} - \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x}{x!}\right) \end{array} [/tex]
[tex]\!\! \small \begin{array}{l} \textsf{The above series can be evaluated by the Recurrence} \\ \textsf{Relation} \\ \\ \qquad \large \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x^k}{x!} = z \frac{d}{dz} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x^{k-1}}{x!} \\ \\ \textsf{Starting from }k = 0, \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x}{x!} = e^z \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x}{x!} = z\frac{d}{dz} e^z = ze^z \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{z^x x^2}{x!} = z\frac{d}{dz} ze^z = z(ze^z + e^z) = (z^2 + z)e^z \end{array} [/tex]
[tex]\!\!\small \begin{array}{l} \begin{aligned} \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{z^x x^3}{x!} &= z\frac{d}{dz} (z^2 + z)e^z \\ \\ &= z(z^2 + z + 2z + 1)e^z \\ \\ &= (z^3 + 3z^2 + z)e^z \end{aligned} \\ \\ \begin{aligned} \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{z^x x^4}{x!} &= z\frac{d}{dz}(z^3 + 3z^2 + z)e^z \\ \\ & = z(z^3 + 3z^2 + z + 3z^2 + 6z + 1)e^z \\ \\ &= (z^4 + 6z^3 + 7z^2 + z)e^z \end{aligned} \end{array} [/tex]
[tex] \small \begin{array}{l} \textsf{Evaluating at }z = 2, \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x}{x!} = e^2 \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x x^2}{x!} = (2^2 + 2)e^2 = 6e^2 \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^3}{x!} = (2^3 + 3\cdot 2^2 + 2)e^2 = 22e^2 \\ \\ \bullet \displaystyle \sum_{x=0}^{\infty}\frac{2^x x^4}{x!} = (2^4 + 6\cdot 2^3 + 7\cdot 2^2 + 2)e^2 = 94e^2 \\ \\ \\ \implies S = e^{-2} e^{2} (94 + 2\cdot 22 + 6 - 1) \\ \\ \implies S = \boxed{143} \end{array} [/tex]
[tex] \mathfrak{\#Brainlèss\_Squad} [/tex]
Salamat sa pagbisita sa aming plataporma. Umaasa kaming nahanap mo ang mga sagot na hinahanap mo. Bumalik ka anumang oras na kailangan mo ng karagdagang impormasyon. Umaasa kaming naging kapaki-pakinabang ang aming mga sagot. Bumalik anumang oras para sa karagdagang impormasyon at mga sagot sa iba pang mga tanong na mayroon ka. Imhr.ca, ang iyong pinagkakatiwalaang site para sa mga sagot. Huwag kalimutang bumalik para sa higit pang impormasyon.
