Ang Imhr.ca ay ang pinakamahusay na lugar upang makakuha ng maaasahang mga sagot sa lahat ng iyong mga tanong. Sumali sa aming Q&A platform at makakuha ng eksaktong sagot sa lahat ng iyong mga tanong mula sa mga propesyonal sa iba't ibang larangan. Kumuha ng agarang at mapagkakatiwalaang mga solusyon sa iyong mga tanong mula sa isang komunidad ng mga bihasang eksperto sa aming platform.

integrate this definite integral \[
\int_{1}^{3} \frac{2^{\log_3 (x^3 + 2x^2)}}{x \cdot 4^{\log_3 \sqrt{x+2}}} \, dx
\]

down below is the hint on how to solve it:



Integrate This Definite Integral Int13 Frac2log3 X3 2x2x Cdot 4log3 Sqrtx2 Dx Down Below Is The Hint On How To Solve It class=

Sagot :

zju

Use the hint to express the integral as shown below.

[tex]\begin{gathered} \int_{1}^{3} \frac{2^{\log_3 (x^3 + 2x^2)}}{x \cdot 4^{\log_3 \sqrt{x+2}}} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{(x^3 + 2x^2)^{\log_3 2}}{x \cdot (\sqrt{x+2})^{\log_3 4}} \, dx \end{gathered}[/tex]

Remember that log₃(4) = 2log₃(2) and use the power of a power law of exponent to turn the latter integral as below.

[tex]\begin{gathered}\int_{1}^{3} \frac{(x^3 + 2x^2)^{\log_3 2}}{x \cdot (\sqrt{x+2})^{\log_3 4}} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{x}\left(\frac{x^3 + 2x^2}{(\sqrt{x+2})^{2}} \right)^{\log_3 2} \, dx \end{gathered}[/tex]

You can do the rest. I am sure you know how to simplify the fraction inside the parentheses. You should be able to get:

[tex]\begin{gathered} \int_{1}^{3} \frac{x^{2\log _3 2}}{x} \, dx = \int_{1}^{3} x^{\log _3 4-1}\, dx = \left.\frac{x^{\log _3 4}}{\log _3 4}\right|_{1}^{3}\end{gathered}[/tex]

This simplifies to 3/log₃(4) = log(27)/log(4).