CrystalStar01
Answered

Makakuha ng pinakamahusay na mga solusyon sa iyong mga katanungan sa Imhr.ca, ang mapagkakatiwalaang Q&A platform. Kumuha ng detalyado at eksaktong sagot sa iyong mga tanong mula sa dedikadong komunidad ng mga eksperto sa aming Q&A platform. Nagbibigay ang aming platform ng seamless na karanasan para sa paghahanap ng mapagkakatiwalaang sagot mula sa isang malawak na network ng mga propesyonal.


[tex] \bold{Evaluate \int_{0}^{π/2}\ \textless \ br /\ \textgreater \ cos {}^{2n} (x)dx.}[/tex]
!!Pa help po ulit!!

Sana may tumulong sakin​

Sagot :

chaser27

[tex] \bold{PROBLEM:}[/tex]

[tex] \begin{aligned} \bold{ \int_{0}^{π/2} \cos {}^{2n} (x)dx.} \end{aligned}[/tex]

[tex] \large \bold{SOLUTION:}[/tex]

[tex] \bold{I \: try \: this. \: Notice \: that,}[/tex]

[tex] \begin{aligned} \bold{ \cos {}^{2n} x = \bigg ( \frac{e {}^{ix} + e {}^{ - ix} }{2} \bigg) {}^{2n} } = \bold{ \frac{1}{2 {}^{2n} } \sum_{k = 0}^{2n} \bigg( \frac{2n}{k} \bigg )e {}^{ikx} e {}^{ - i \bigg(2n - k \bigg)x} } \\ \\ \bold{ = \frac{1}{2 {}^{2n} }^{} } \sum_{k = 0}^{2n}\bold{ \bigg( \frac{2n}{k} \bigg )e {}^{ - i \bigg(2k- n \bigg)x} }\end{aligned}[/tex]

[tex] \bold{The\: terms \:with\:k\ne n } \\ \bold{integrate \: to \: zero \: over} \\ \bold{[0,\pi/2] \: and \: we \: are \: left \: with}[/tex]

[tex] \begin{aligned} \bold{ \int_{0}^{\pi/2}cos {}^{2n}x \: dx = \int_{0}^{ \pi/2 }} \bold{ \frac{1}{2n} \bigg( \frac{2n}{n} \bigg)dx = \frac{\pi}{2 {}^{2n + 1} } \bigg ( \frac{2n}{n} \bigg ) } \end{aligned}[/tex]

Another Solution because im not sure to my answer.

[tex] \bold{A \: given \: component \: e^{i(2k-2n)x}} \\ \bold{does \: not \: necessarily \: have}[/tex]

[tex] \begin{aligned} \bold{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{i(2k-2n)x} dx = 0} \end{aligned}[/tex]

[tex] \bold{e.g. take k=n+1. However, \: we \: in \: fact \: have \: that}[/tex]

[tex] \begin{aligned} \bold{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-2kix} + e^{2kix}dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\left(2kx\right)dx=0} \end{aligned}[/tex]

and this is why your proof holds and symmetry of the binomial coefficient

OR MAYBE LIKE THIS

[tex] \begin{aligned} \bold{\int_0^{\pi/2} \exp(2 i x) d x = i \neq 0.} \end{aligned}[/tex]

I made everything and that's all I can do

Axlr8

PROBLEM:

Evaluate [tex] \displaystyle \int_{0}^{π/2} \cos^{2n} x \: dx [/tex]

SOLUTION:

By Walli's Formula,

Since 2n is even for all integer values of n,

[tex] \displaystyle \int_{0}^{π/2} \cos^{2n} x \: dx = \dfrac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot (2n - 1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdot \cdot 2n } \cdot \dfrac{\pi}{2} [/tex]

[tex] \displaystyle \int_{0}^{π/2} \cos^{2n} x \: dx = \boxed{\displaystyle \dfrac{\prod\limits_{k = 1}^{n} (2k - 1)}{\prod\limits_{k = 1}^{n} 2k} \cdot \dfrac{\pi}{2}} [/tex]

Salamat sa pagpunta. Nagsusumikap kaming magbigay ng pinakamahusay na mga sagot para sa lahat ng iyong mga katanungan. Kita tayo muli sa susunod. Salamat sa iyong pagbisita. Kami ay nakatuon sa pagbibigay sa iyo ng pinakamahusay na impormasyon na magagamit. Bumalik anumang oras para sa higit pa. Ang iyong mga tanong ay mahalaga sa amin. Balik-balikan ang Imhr.ca para sa higit pang mga sagot.